Нормальное распределение

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - один из наиболее широко используемых видов теоретического распределения. Н.Р. наблюдается в тех случаях, когда изменения признака вызываются множеством независимых друг от друга (или слабо зависимых) факторов, каждый из которых играет в общей сумме примерно одинаковую и малую роль, т.е. отсутствуют доминирующие факторы. В качестве стандарта в статистике используется единичное Н.Р., в котором среднее значение признака равно 0, а стандартное отклонение равно 1 (т.е. μ = 0, σ = 1). Свойства единичного Н.Р.: 1. Площадь под нормальной кривой равна 1. 2. 68 % площади под кривой лежит в пределах одной σ от среднего в обе стороны, 95 % площади под кривой лежит в пределах двух σ от среднего, 99,7% площади под кривой лежит в пределах 3σ от среднего. 3. График Н.Р. симметричен относительно среднего. Для определения площади слева от любой точки по оси Z имеются статистические таблицы следующего вида: Значение Z Площадь слева от Z Ордината для Z 0,00 0,5000 0,3989 0,50 0,6915 0,3521 1,27 0,1020 0,1781 1,96 0,9750 0,0584 Пусть необходимо найти площадь слева от Z = 0,5. По таблице во втором столбце находим 0,6915. В третьем столбце находится ордината для Z = 0,5; она равна 0,3521. Фактически существует множество нормальных кривых, отличающихся друг от друга μ и σ. Но все они обладают свойствами единичного Н.Р. и могут быть использованы для вычисления площади под кривой слева от некоторого значения Z. Всякую нормальную кривую можно совместить со стандартной кривой единичного Н.Р. путем вычитания μ и деления на σ. Если, например, Н.Р. такого признака, как рост взрослых мужчин, имело бы среднее значение (μ = 178 см, а σ = 6,3 см, то для точки со значением 170 см площадь слева от Z составит 10,2 %: Z = (170-178):63 = -1,27 (по таблице площадь равна 0,1020, т.е. 10,2%). Это означает, что 10,2% взрослых мужчин имеет рост меньше 170 см. Н.Р. используется как в описательной статистике (научное описание совокупности данных), так и в теории статистического вывода - при оценке генеральной совокупности (см.) по выборочной. Используемые в социологии статистические критерии проверки гипотез представляют собой случайные величины, распределенные нормально (Z-критерий) и опирающиеся на Н.Р; (критерий χ², F-критерий Фишера, t-критерий Стьюдента). Z-критерий используется для проверки значимости коэффициентов корреляции. Пусть коэффициент корреляции признаков стажа и заработка равен 0,8 (r = 0,8), количество наблюдений n = 50. Тогда Z=r: (1: √n - 1) = 0,8: (l : √49) = 5,6. Для определения Z-критерия необходимо найти ордина-ту Н.Р. по формуле U = (1-2α) : 2, где α - допустимый уровень значимости, в социологических исследованиях α = 0,05. U = (1-2 · 0,05) : 2 = 0,45. По таблице "Доли площади под нормальной кривой..." (см.: Рабочая книга социолога. М.: Наука, 1976. С. 506) находим, что ординате (U = 0,45 соответствует Zкр = 1,65; т.к. Z > Z кр., то r = 0,8 значим на уровне 0,05 и лишь в 5 % случаев может оказаться равным нулю. С.А. Шавель